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2016年第57届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)真题汇总

213 0 0 2018-06-27 12:57:35

58届国际数学奥林匹克竞赛将于2017年7月12日~23日在巴西里约热内卢举办。预祝中国队取得好成绩!2016年第57届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)真题,供参考。

2016年第57届国际数学奥林匹克竞赛,美国队成绩214,6金,获得团体第一名;韩国队成绩204,4金2银,获得团体第二名;中国队成绩204,4金2银,获得团体奖第三名。

第一天试题

Problem1

在直角三角形BCF中,点A在直线CF上且FA=FB,并且F在A,C之间,点D使得DA=DC并且AC是∠BAD的角平分线,点E使得EA=ED且AD是∠EAC的角平分线, M是FC中点,X使得AMXE是平行四边形,证明:ME,FX,BD三线共点。

Problem2

求所有的正整数n使得能够将一个 n×n 方形表格填满 I,M,O三个字母,并且满足如下条件:

◆每行、每列恰好有:三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

◆i若某条对角线上的方格数是3的倍数,则这条对角线上也恰好有三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

Note:将第i行第j列的表格记为(i,j),这里的“对角线”一共有两类4n-2条,第一类每条对角线指所有使得i+j为常数的小方格(i,j)的集合,第二类是指所有使得i-j为常数的小方格(i,j)的集合。

Problem3

P=A1 A2 …Ak 是一个平面直角坐标系中的凸多边形,已知P内接于圆且 A1 A2 …Ak 纵横坐标均为整数.P的面积为S,正奇数n满足P每条边长度的平方均被n整除,证明:2S是一个被n整除的整数。

Problem4

一个由正整数构成的集合称为"芳香集" ,若它至少有两个元素,且其中每个元素都与其他元素中的至少一个元素有公共的素因子,设P(n)=n^2+n+1,问 正整数b最小为何值时能够存在一个非负整数a使得集合

{P(a+1),P(a+2)……P(a+b)}

是一个"芳香集"

Problem5

黑板上写有方程:

(x-1)(x-2)…(x-2016)=(x-1)(x-2)…(x-2016)

其中等号两边各有2016个一次因式,试问:正整数k最小为何值时,可以在等号两边擦去4032个一次因式中的恰好k个,使得等号每一边都至少留下一个一次因式,且所得到的方程没有实数根?

Problem6

在平面上有n≥2条线段,其中任意两条线段都交叉,且没有第三条线段相交于同一点,Geoff在每条线段上选取一个端点并放置一只青蛙在此端点上,青蛙面向另一个端点,接着Geoff会拍n-1次手,每当他拍一次手,每只青蛙都立即跳到它所在的线段的下一个交点,每只青蛙均不会改变跳跃的方向,Geoff的愿望是能够适当地放置青蛙,使得在任何时候都不会有两只青蛙落在同一个交点上:

(a)证明:若n是奇数,则Geoff总能实现他的愿望。

    (b)证明:若n是偶数,则Geoff不可能实现他的愿望


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